华人女数学家锁定菲尔兹奖?127页破解世纪难题(组图)
6Park 生活 8 hours, 36 minutes
2月26日，华人数学家王虹和Joshua Zahl的一篇论文，在数学圈炸开了锅。几何测度论中最瞩目的未解难题——Kakeya集合猜想，已在三维空间中被成功证实！多人猜测：王虹或能锁定下届菲尔兹奖。
一个困扰数学家一个多世纪的超级难题，如今被北大校友攻克了！
最近，纽约大学和不列颠哥伦比亚大学数学教授联手，用一份长达127页证明，正式宣告——「Kakeya集合」猜想尘埃落定。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.17655
而且，这项研究得到菲尔兹奖得主陶哲轩极大地肯定，他激动地表示：
在几何测度论中，最受瞩目的未解难题之一——Kakeya集合（挂谷集合）猜想，现在已经被王虹和Joshua Zahl证明（在三维空间中)。
Kakeya集合的核心问题是——如果你要在空间里「转动」一个线段，让它覆盖所有方向，最小的空间需要多大？
挂谷猜想源于日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）1917年提出的一个几何问题
数学家们早已知道，2D平面不够用，必须通过3D空间来解决问题。
但关键在于，能否找到一个「超级小」的3D区域，仍让这个线段指向每个方向？
如今这个谜团，被破解了！
王虹和Joshua Zahl教授通过层层推导，精妙的逻辑和计算，研究了在ℝ³中具有以下性质的δ管（δ tubes）集合：即不会有太多管道被包含在同一个凸集V内。
王虹现任纽约大学库朗数学研究所（NYU Courant）数学副教授，北大数学系本科毕业；Joshua Zahl现任不列颠哥伦比亚大学数学系副教授。
他们得出，来自这样一个集合的管道的并集，必须具有几乎最大的体积。最终证明了ℝ³中的每个Kakeya集，都具有Minkowski和Hausdorff维数3。
一时间，全网忍不住猜测：如果这篇论文最终通过严格的同行评审，王虹极有可能成为中国首位获得菲尔兹奖的数学家，以及全球第三位拿下菲尔兹奖的女性得主。
前两位分别是，伊朗裔美国数学家Maryam Mirzakhani和乌克兰数学家Maryna Viazovska。
作为数学界至高荣耀，菲尔兹奖每4年颁发一次，只给40岁以下的数学家。
王虹一度登上2026菲尔兹奖得主赔率榜首
DeepMind的研究科学家Lechao Xiao震惊表示：之前，从未想过有生之年能看到此猜想被证明。
这一次，中国数学家即将成为开拓者，将在数学史上留下浓墨重彩的一笔。
北大疯人院毕业，学霸典范
提起王虹，不是数学圈内的人，鲜有人知。
1991年，她出生于山水甲天下的桂林。父母都是广西平乐县沙子中学的普通教师，家庭书香氛围浓厚。
然而，命运似乎很早就给这个聪慧的女孩，设置了一大考验。
5岁入学，两次跳级4岁那年，一次意外的右臂烫伤，让王虹遭遇了一场磨难。
但这并没有成为她心里的阴影，更没丝毫动摇她对知识渴望的决心。
入学前，在父母的悉心教导下，年仅5岁的她便已经掌握了一年级的全部知识，凭借超强学习能力，她直接跳级进入了小学二年级。
在学习方式上，王虹有着自己的独特的节奏。她不会等待老师的授课进度，而是习惯在每学期开始前，就将整个学期的课本自学完毕。
面对难题，她也极少直接向老师求助，更倾向于独立思考、查阅资料，或与同学讨论。
这种学习习惯，不仅培养她强大得自学能力，更塑造了其独立思考和解决问题得能力，更为日后的学术研究奠定了坚实的基础。
到了六年级的时候，王虹再次跳级，直接升入初中。
2004年中考，她成功考入了了桂林中学，在高手如云的重点高校，她的成绩从全年级100名之外最终冲入TOP 10。
逐梦数学，从北大到MIT2007年，当大多数同龄人还在为高考而奋斗时，16岁的王虹便以653分优异的成绩提前考入了北大地球与空间科学学院。
然而，出于对数学的挚爱，让她在一年后毅然转入了数学科学学院。
在此期间，她的导师是王立中教授，并在刘张炬教授指导下完成了「经典Hodge理论和度量空间上的Hodge理论」的毕业论文。
本科毕业后，王虹的求学脚步，并未停歇。
2011年和2014年，她先后获得了巴黎综合理工学院（École Polytechnique）数学学位，以及巴黎南大学（Paris-Sud Université）数学硕士学位
紧接着在2019年，她在麻省理工学院（MIT）完成了博士学位，导师是Larry Guth。
博士毕业后，王虹的学术之路愈发璀璨。
2019-2021年，她在普林斯顿高等研究院（IAS）担任博士后成员；2021-2023年，她还在加州大学洛杉矶分校（UCLA）担任助理教授。
目前，王虹任纽约大学库朗数学研究所（NYU Courant）的数学副教授。
值得一提的是，她的研究成果得到了国际数学界的高度认可。
2022年，王虹获得了极具声望的「Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize」，因在限制性猜想、局部光滑性猜想及相关问题上的突破性研究，而获此殊荣。
这个奖项专门表彰过去两年内获得博士学位的杰出女性数学家。
世纪数学难题，无人破解
1917年，S. Kakeya提出了著名的Kakeya针问题：在平面中，旋转一个单位线段（「针」）180 度所需的最小面积是多少？
如果围绕中点旋转，所需面积为π/4单位，而通过一个「三点掉头」方式旋转则只需π/8。
右边的三角形（deltoid）的大小是圆的一半，尽管两个指针都能旋转经过每个方向
1927年，A. Besicovitch解决了这个问题，给出了一个令人惊讶的答案：通过恰当的方式，旋转一个针只需要任意小的面积。
乍一看，Kakeya问题和Besicovitch的解决方案，似乎仅仅是数学上的好奇。
然而，在过去的三十年中，人们逐渐意识到，这类问题与许多看似无关的数学领域相关，涉及到数论、几何组合学、算术组合学、振荡积分，甚至是色散方程和波动方程的分析。
2014年，在Nets Katz、陶哲轩尝试证明Kakeya猜想十多年后，陶在他的博客上发布了详细研究方法的概述，希望其他数学家有机会自己尝试这个方法。
127页硬核证明
值得一提的是，这一篇长达127页的论文，摘要十分简明。
在论文开头，研究者概述道：Kakeya集合猜想断言，在R^n中，每个Kakeya集合的Minkowski维数和Hausdorff维数均为n。
n=2的猜想已被解决，当在三维及更高维度下，该问题仍未解决。
而在这项工作中，研究者解决了三维空间中的Kakeya集合猜想。
开始，研究者就给出了定理1.1：ℝ³中的每个Kakeya集合的Minkowski维数和 Hausdorff维数均为3。
它是以下这个技术性更强的结果的推论。
接下来，研究者证明了当集合T具有粘性时，定理1.2是成立的。（图1左）
然而，并非所有的管状集合都是粘性的，图1右就展示了一个反例。
为了分析这些反例，他们引入了定理1.2中非聚集性假设的两种变体，以及体积估计的两种变体。
随后，利用Guth提出的粒子分解变体，研究者假设了T_ρ内的δ/ρ管排列成「晶粒」。
接下来，研究者对粒子的交叠度进行了一种粗尺度估计。
假设当两个棱柱ρ，ρ’都属于集合ρ且相交时，它们的相应切平面在δ/(ρc)精度内一致。
由此，就到了本文的一个关键创新点！
研究者提出了一个结构定理，该定理找到了一个凸集集合W，使得W满足Katz-Tao Convex Wolff公理，且寄予集合W中的每个W（定义
），都满足几个关键性质。
陶哲轩：「通俗易懂」版解析来了
为了让大家更好地理解这个问题，陶哲轩也在论文发布后，第一时间更新了一篇详尽的分析。
经过大佬通俗易懂的分析，许多人明白了这项研究的要点和意义所在。
几何测度论领域已经取得了一些惊人的进展：王虹和Joshua Zahl刚刚发布了一篇预印本，解决了臭名昭著的挂谷集合猜想（Kakeya set conjecture）的三维情况！
这个猜想断言Kakeya集合——一个包含每个方向上单位线段的R^3子集，必须具有等于3的闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数。（这个猜想还有一个更强的「极大函数」变体，目前仍未解决，尽管本文的方法将给出这个极大函数的一些非平凡界限。）
通常人们用小尺度0
的体积应该为≈1。
在这里，我们对≈的含义稍作模糊，但大致上应该理解为「在形式为Oε（δ^-ε）的因子范围内，对于任意ε>0」；特别是，这种表示法可以吸收可能由二分抽屉原理引起的任何对数损失。
出于技术原因（包括需要调用前述的二分抽屉原理），研究者实际上处理的是稍小的集合
。其中Y是T中管的「着色」，为集合中的每个管T分配一个大的子集Y(T)；但在本讨论中，我们将忽略这个微妙之处，假设我们总是可以使用完整的管。
该领域以前的研究成果往往集中在形式为：
对于各种中间维数00是依赖于d的某个小的正数。通过反复迭代这一过程，我们可以期望使d任意接近3。
这类连续归纳法论证的一般原则是首先以非显然的方式获得平凡蕴含K(d)⇒K(d)希望这个非显然的论证可以通过某种扰动或优化，获得关键的改进K(d)⇒K(d+α)。
自从1990年代Bourgain和Wolff的工作以来（其前身是Córdoba的早期工作），实现这一目标的标准策略是执行某种「尺度上的归纳法」。
基本思想如下：让我们称T中的δ×δ×1管T为「细管」。我们可以尝试将这些细管分组为尺寸为ρ×ρ×1的「粗管」，其中δ≤ρ≤1是某个中间尺度；对于这个简述来说，这里选择的中间值具体是什么并不特别重要，但如果需要的话，可以设置ρ=√δ。由于T中方向的δ分离性质，在给定的粗管中最多只能有大约小于等于(ρ/δ)^2个细管，因此我们至少需要大约大于等于ρ^-2个粗管来覆盖≈δ^-2个细管。
现在让我们假设我们处于「粘性情况，即细管在粗管内尽可能地粘在一起，因此实际上有一个包含≈ρ^-2个粗管T_ρ的集合T_ρ，每个粗管包含大约（ρ/δ）^2个细管。我们还假设粗管T_ρ在方向上是ρ分离的，这一假设与我们在此做出的其他假设高度一致。
如果我们已经有了假设K(d)，那么通过在尺度ρ而不是δ上应用它，我们可以得出粗管所占体积的下界：
由于
这实质上告诉我们粗管的典型多重度μ_fat为约小于ρ^(d-3)；
中的一个典型点应该属于大约μ_fat为约小于ρ^(d-3)个粗管。
现在，在每个粗管T_ρ内，我们假设有大约(ρ/δ)^2个在方向上δ分离的细管。如果我们沿着粗管的轴进行因子为1/ρ的线性缩放，将其转变为1×1×1的管，这将使细管扩展为尺寸为δ/ρ×δ/ρ×1的缩放后的管，这些管现在在方向上≈δ/ρ分离。
这种缩放不影响管的多重度。再次应用K(d)，我们实质上看到缩放后管的多重度μ_fine，因此，因此T_ρ内的细管的多重度应该为约小于(δ/ρ)^(d-3)。
接下来，我们观察到完整集合T中细管的多重度μ实质上应该满足不等式：
这是因为如果一个给定点最多位于μ_fat个粗管中，且在每个粗管内，一个给定点最多位于该粗管中的μ_fine个细管中，那么它应该最多只能位于μ_fatμ_fine个管中。从直观上，这给出了
，从而在粘性情况下恢复了（1）式。
在他们之前的论文中，王虹和Zahl大致能够从这个论证中获得更多结果，得到类似于K(d)⇒K(d+α)的结果，这在粘性情况下大致遵循了Nets Katz和我本人在十多年前的博客文章中讨论过的策略。我不会在这里进一步讨论论证的这一部分，请读者参考该论文的引言；相反，我将专注于当前论文中处理非粘性情况的论证。
让我们尝试在非粘性情况下重复上述分析。我们假设K(d)（或其某些合适的变体），并考虑一些增厚的Kakeya集合：
其中，T类似于我们可能称为尺度δ的「Kakeya配置」：一个由δ^-2个维度为δ×δ×1的细管组成的集合，这些细管在方向上δ分离。（实际上，为了使归纳法有效，我们必须考虑比这些更一般的管的族，满足一些标准的「Wolff公理」而不是方向分离假设；但我们暂时不详细讨论这个问题。）我们的目标是证明类似于K(d+α)的结果，其中α>0，这相当于获得一些改进的体积界限：
这改进了来自K(d)的界限
。从之前的论文中我们知道我们可以在「粘性」情况下做到这一点，所以我们将假设E是「非粘性的」（不管这具体是什么意思）。
一个典型的非粘性设置是现在有mρ^-2个粗管，其中m>>>1是某个多重度（例如，m=δ^-η，其中η>0是一个小常数），每个粗管只包含m^-1 (δ/ρ)^-2个细管。现在我们面临一个不幸的不平衡：粗管形成了一个「超级Kakeya配置」，在粗尺度ρ上有太多的管，使它们不可能都在方向上ρ分离，而粗管内的细管形成了一个「次级Kakeya配置」，其中没有足够的管来覆盖所有相关方向。因此，我们不能在任一尺度上有效地应用假设K(d)。
这似乎是一个严重的障碍，因此让我们换一种思路，考虑一种不同的方式来尝试完成论证——让我们看看，E会如何与给定的ρ-球B(x,ρ)相交。
假设K(d)表明E可能表现得像一个d-维分形，在这种情况下，我们可能会推测|E∩B(x,ρ)|的大小形式为(ρ/δ)^dδ^3。为了进行论证，假设集合E在这个尺度上比这更密集，例如我们有：
对所有x∈E和某个α>0成立。我们观察到ρ-邻域E基本上是
，因此根据假设K(d)，其体积为约大于ρ^(3-d)（实际上我们甚至期望在m上有一些增益，但我们暂时不尝试捕捉这样的增益）。由于ρ-球的体积为≈ρ^3，这应该意味着E需要大约ρ^-d个球来覆盖它。应用(3)式，我们从直观上有：
这将给出所需的增益K(d+α)。所以如果我们能够在某个中间尺度ρ展示条件(3)，我们就赢了。我认为这是一种[Frostman测度的违背]，因为Frostman类型的界限：
正在被违背。
集合E作为厚度为δ管的并集，本质上是δ×δ×δ立方体的并集。但在之前的陶哲轩和Nets Katz、Izabella Laba等的研究中已经观察到，这些Kakeya集合倾向于组织成比这些立方体更大的「颗粒」。特别是，对于某些中间尺度δ
其中μ_coarse不是粗管T_ρ的多重度，而是更小集合
的多重度。这里的关键点是，根据颗粒性假设，每个
是基本不相交的中间维度δ×ρc×c颗粒的并集。因此，量μ_coarse基本上是在测量颗粒的多重度。
结果表明，经过适当的重新缩放后，颗粒的排列在局部上看起来像是ρ×ρ×1管的排列。在理想情况下，这些管会呈现出Kakeya（或次级Kakeya）配置的特征，例如在给定方向上没有过多的管。（更准确地说，这里应该假设某种形式的Wolff公理，作者称之为「Katz-Tao凸Wolff公理」）。假设K(d)的一个合适变体将给出以下界限：
同时，粗管内的细管将形成一个次级Kakeya配置，比Kakeya配置少约m倍的管。可以证明，通过使用K(d)可以在m上获得增益：
其中σ＞0是一个小常数。将这些界限代入（4）式，可以得到一个良好的界限
，这就导致了所需的增益K(d+α)。
因此剩下的情况是当颗粒不表现为重新缩放的Kakeya或次级Kakeya配置时。Wang和Zahl引入了一个「结构定理」来分析这种情况，得出结论是颗粒将组织成一些更大的凸棱柱W，每个棱柱W中的颗粒表现为「超级Kakeya配置」（比Kakeya配置有明显更多的颗粒）。然而，这些棱柱W的精确维度并未预先指定，需要进一步分情况讨论。
一种情况是当棱柱W是「厚的」，即所有维度都明显大于δ。直观上讲，这意味着在小尺度上，E在重新缩放后看起来像一个超级Kakeya配置。通过一个相当冗长的尺度归纳论证，Wang和Zahl能够证明（一个合适变体的）K(d)意味着它自身的「X射线」变体，其中超级Kakeya配置的下界明显好于Kakeya配置的下界。这样做的结果是，在这种情况下能够获得形式为（3）的Frostman测度违背界限，如前所述，这已足以解决这种情况。
剩下需要处理的是棱柱W是「薄的」情况，即它们的厚度≈δ。在这种情况下，Córdoba的L^2论证，结合每个薄棱柱内颗粒的超级Kakeya性质，表明每个棱柱几乎完全被集合E占据。这实际上意味着，这些棱柱W本身可以被视为Kakeya集合的颗粒。但这与颗粒维度的最大性相矛盾（如果一切设置正确）。
这一结果处理了完成尺度归纳所需的最后剩余情况，从而证明了Kakeya猜想！
一个困扰数学家一个多世纪的超级难题，如今被北大校友攻克了！
最近，纽约大学和不列颠哥伦比亚大学数学教授联手，用一份长达127页证明，正式宣告——「Kakeya集合」猜想尘埃落定。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.17655
而且，这项研究得到菲尔兹奖得主陶哲轩极大地肯定，他激动地表示：
在几何测度论中，最受瞩目的未解难题之一——Kakeya集合（挂谷集合）猜想，现在已经被王虹和Joshua Zahl证明（在三维空间中)。
Kakeya集合的核心问题是——如果你要在空间里「转动」一个线段，让它覆盖所有方向，最小的空间需要多大？
挂谷猜想源于日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）1917年提出的一个几何问题
数学家们早已知道，2D平面不够用，必须通过3D空间来解决问题。
但关键在于，能否找到一个「超级小」的3D区域，仍让这个线段指向每个方向？
如今这个谜团，被破解了！
王虹和Joshua Zahl教授通过层层推导，精妙的逻辑和计算，研究了在ℝ³中具有以下性质的δ管（δ tubes）集合：即不会有太多管道被包含在同一个凸集V内。
王虹现任纽约大学库朗数学研究所（NYU Courant）数学副教授，北大数学系本科毕业；Joshua Zahl现任不列颠哥伦比亚大学数学系副教授。
他们得出，来自这样一个集合的管道的并集，必须具有几乎最大的体积。最终证明了ℝ³中的每个Kakeya集，都具有Minkowski和Hausdorff维数3。
一时间，全网忍不住猜测：如果这篇论文最终通过严格的同行评审，王虹极有可能成为中国首位获得菲尔兹奖的数学家，以及全球第三位拿下菲尔兹奖的女性得主。
前两位分别是，伊朗裔美国数学家Maryam Mirzakhani和乌克兰数学家Maryna Viazovska。
作为数学界至高荣耀，菲尔兹奖每4年颁发一次，只给40岁以下的数学家。
王虹一度登上2026菲尔兹奖得主赔率榜首
DeepMind的研究科学家Lechao Xiao震惊表示：之前，从未想过有生之年能看到此猜想被证明。
这一次，中国数学家即将成为开拓者，将在数学史上留下浓墨重彩的一笔。
北大疯人院毕业，学霸典范
提起王虹，不是数学圈内的人，鲜有人知。
1991年，她出生于山水甲天下的桂林。父母都是广西平乐县沙子中学的普通教师，家庭书香氛围浓厚。
然而，命运似乎很早就给这个聪慧的女孩，设置了一大考验。
5岁入学，两次跳级4岁那年，一次意外的右臂烫伤，让王虹遭遇了一场磨难。
但这并没有成为她心里的阴影，更没丝毫动摇她对知识渴望的决心。
入学前，在父母的悉心教导下，年仅5岁的她便已经掌握了一年级的全部知识，凭借超强学习能力，她直接跳级进入了小学二年级。
在学习方式上，王虹有着自己的独特的节奏。她不会等待老师的授课进度，而是习惯在每学期开始前，就将整个学期的课本自学完毕。
面对难题，她也极少直接向老师求助，更倾向于独立思考、查阅资料，或与同学讨论。
这种学习习惯，不仅培养她强大得自学能力，更塑造了其独立思考和解决问题得能力，更为日后的学术研究奠定了坚实的基础。
到了六年级的时候，王虹再次跳级，直接升入初中。
2004年中考，她成功考入了了桂林中学，在高手如云的重点高校，她的成绩从全年级100名之外最终冲入TOP 10。
逐梦数学，从北大到MIT2007年，当大多数同龄人还在为高考而奋斗时，16岁的王虹便以653分优异的成绩提前考入了北大地球与空间科学学院。
然而，出于对数学的挚爱，让她在一年后毅然转入了数学科学学院。
在此期间，她的导师是王立中教授，并在刘张炬教授指导下完成了「经典Hodge理论和度量空间上的Hodge理论」的毕业论文。
本科毕业后，王虹的求学脚步，并未停歇。
2011年和2014年，她先后获得了巴黎综合理工学院（École Polytechnique）数学学位，以及巴黎南大学（Paris-Sud Université）数学硕士学位
紧接着在2019年，她在麻省理工学院（MIT）完成了博士学位，导师是Larry Guth。
博士毕业后，王虹的学术之路愈发璀璨。
2019-2021年，她在普林斯顿高等研究院（IAS）担任博士后成员；2021-2023年，她还在加州大学洛杉矶分校（UCLA）担任助理教授。
目前，王虹任纽约大学库朗数学研究所（NYU Courant）的数学副教授。
值得一提的是，她的研究成果得到了国际数学界的高度认可。
2022年，王虹获得了极具声望的「Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize」，因在限制性猜想、局部光滑性猜想及相关问题上的突破性研究，而获此殊荣。
这个奖项专门表彰过去两年内获得博士学位的杰出女性数学家。
世纪数学难题，无人破解
1917年，S. Kakeya提出了著名的Kakeya针问题：在平面中，旋转一个单位线段（「针」）180 度所需的最小面积是多少？
如果围绕中点旋转，所需面积为π/4单位，而通过一个「三点掉头」方式旋转则只需π/8。
右边的三角形（deltoid）的大小是圆的一半，尽管两个指针都能旋转经过每个方向
1927年，A. Besicovitch解决了这个问题，给出了一个令人惊讶的答案：通过恰当的方式，旋转一个针只需要任意小的面积。
乍一看，Kakeya问题和Besicovitch的解决方案，似乎仅仅是数学上的好奇。
然而，在过去的三十年中，人们逐渐意识到，这类问题与许多看似无关的数学领域相关，涉及到数论、几何组合学、算术组合学、振荡积分，甚至是色散方程和波动方程的分析。
2014年，在Nets Katz、陶哲轩尝试证明Kakeya猜想十多年后，陶在他的博客上发布了详细研究方法的概述，希望其他数学家有机会自己尝试这个方法。
127页硬核证明
值得一提的是，这一篇长达127页的论文，摘要十分简明。
在论文开头，研究者概述道：Kakeya集合猜想断言，在R^n中，每个Kakeya集合的Minkowski维数和Hausdorff维数均为n。
n=2的猜想已被解决，当在三维及更高维度下，该问题仍未解决。
而在这项工作中，研究者解决了三维空间中的Kakeya集合猜想。
开始，研究者就给出了定理1.1：ℝ³中的每个Kakeya集合的Minkowski维数和 Hausdorff维数均为3。
它是以下这个技术性更强的结果的推论。
接下来，研究者证明了当集合T具有粘性时，定理1.2是成立的。（图1左）
然而，并非所有的管状集合都是粘性的，图1右就展示了一个反例。
为了分析这些反例，他们引入了定理1.2中非聚集性假设的两种变体，以及体积估计的两种变体。
随后，利用Guth提出的粒子分解变体，研究者假设了T_ρ内的δ/ρ管排列成「晶粒」。
接下来，研究者对粒子的交叠度进行了一种粗尺度估计。
假设当两个棱柱ρ，ρ’都属于集合ρ且相交时，它们的相应切平面在δ/(ρc)精度内一致。
由此，就到了本文的一个关键创新点！
研究者提出了一个结构定理，该定理找到了一个凸集集合W，使得W满足Katz-Tao Convex Wolff公理，且寄予集合W中的每个W（定义
），都满足几个关键性质。
陶哲轩：「通俗易懂」版解析来了
为了让大家更好地理解这个问题，陶哲轩也在论文发布后，第一时间更新了一篇详尽的分析。
经过大佬通俗易懂的分析，许多人明白了这项研究的要点和意义所在。
几何测度论领域已经取得了一些惊人的进展：王虹和Joshua Zahl刚刚发布了一篇预印本，解决了臭名昭著的挂谷集合猜想（Kakeya set conjecture）的三维情况！
这个猜想断言Kakeya集合——一个包含每个方向上单位线段的R^3子集，必须具有等于3的闵可夫斯基维数和豪斯多夫维数。（这个猜想还有一个更强的「极大函数」变体，目前仍未解决，尽管本文的方法将给出这个极大函数的一些非平凡界限。）
通常人们用小尺度0
的体积应该为≈1。
在这里，我们对≈的含义稍作模糊，但大致上应该理解为「在形式为Oε（δ^-ε）的因子范围内，对于任意ε>0」；特别是，这种表示法可以吸收可能由二分抽屉原理引起的任何对数损失。
出于技术原因（包括需要调用前述的二分抽屉原理），研究者实际上处理的是稍小的集合
。其中Y是T中管的「着色」，为集合中的每个管T分配一个大的子集Y(T)；但在本讨论中，我们将忽略这个微妙之处，假设我们总是可以使用完整的管。
该领域以前的研究成果往往集中在形式为：
对于各种中间维数00是依赖于d的某个小的正数。通过反复迭代这一过程，我们可以期望使d任意接近3。
这类连续归纳法论证的一般原则是首先以非显然的方式获得平凡蕴含K(d)⇒K(d)希望这个非显然的论证可以通过某种扰动或优化，获得关键的改进K(d)⇒K(d+α)。
自从1990年代Bourgain和Wolff的工作以来（其前身是Córdoba的早期工作），实现这一目标的标准策略是执行某种「尺度上的归纳法」。
基本思想如下：让我们称T中的δ×δ×1管T为「细管」。我们可以尝试将这些细管分组为尺寸为ρ×ρ×1的「粗管」，其中δ≤ρ≤1是某个中间尺度；对于这个简述来说，这里选择的中间值具体是什么并不特别重要，但如果需要的话，可以设置ρ=√δ。由于T中方向的δ分离性质，在给定的粗管中最多只能有大约小于等于(ρ/δ)^2个细管，因此我们至少需要大约大于等于ρ^-2个粗管来覆盖≈δ^-2个细管。
现在让我们假设我们处于「粘性情况，即细管在粗管内尽可能地粘在一起，因此实际上有一个包含≈ρ^-2个粗管T_ρ的集合T_ρ，每个粗管包含大约（ρ/δ）^2个细管。我们还假设粗管T_ρ在方向上是ρ分离的，这一假设与我们在此做出的其他假设高度一致。
如果我们已经有了假设K(d)，那么通过在尺度ρ而不是δ上应用它，我们可以得出粗管所占体积的下界：
由于
这实质上告诉我们粗管的典型多重度μ_fat为约小于ρ^(d-3)；
中的一个典型点应该属于大约μ_fat为约小于ρ^(d-3)个粗管。
现在，在每个粗管T_ρ内，我们假设有大约(ρ/δ)^2个在方向上δ分离的细管。如果我们沿着粗管的轴进行因子为1/ρ的线性缩放，将其转变为1×1×1的管，这将使细管扩展为尺寸为δ/ρ×δ/ρ×1的缩放后的管，这些管现在在方向上≈δ/ρ分离。
这种缩放不影响管的多重度。再次应用K(d)，我们实质上看到缩放后管的多重度μ_fine，因此，因此T_ρ内的细管的多重度应该为约小于(δ/ρ)^(d-3)。
接下来，我们观察到完整集合T中细管的多重度μ实质上应该满足不等式：
这是因为如果一个给定点最多位于μ_fat个粗管中，且在每个粗管内，一个给定点最多位于该粗管中的μ_fine个细管中，那么它应该最多只能位于μ_fatμ_fine个管中。从直观上，这给出了
，从而在粘性情况下恢复了（1）式。
在他们之前的论文中，王虹和Zahl大致能够从这个论证中获得更多结果，得到类似于K(d)⇒K(d+α)的结果，这在粘性情况下大致遵循了Nets Katz和我本人在十多年前的博客文章中讨论过的策略。我不会在这里进一步讨论论证的这一部分，请读者参考该论文的引言；相反，我将专注于当前论文中处理非粘性情况的论证。
让我们尝试在非粘性情况下重复上述分析。我们假设K(d)（或其某些合适的变体），并考虑一些增厚的Kakeya集合：
其中，T类似于我们可能称为尺度δ的「Kakeya配置」：一个由δ^-2个维度为δ×δ×1的细管组成的集合，这些细管在方向上δ分离。（实际上，为了使归纳法有效，我们必须考虑比这些更一般的管的族，满足一些标准的「Wolff公理」而不是方向分离假设；但我们暂时不详细讨论这个问题。）我们的目标是证明类似于K(d+α)的结果，其中α>0，这相当于获得一些改进的体积界限：
这改进了来自K(d)的界限
。从之前的论文中我们知道我们可以在「粘性」情况下做到这一点，所以我们将假设E是「非粘性的」（不管这具体是什么意思）。
一个典型的非粘性设置是现在有mρ^-2个粗管，其中m>>>1是某个多重度（例如，m=δ^-η，其中η>0是一个小常数），每个粗管只包含m^-1 (δ/ρ)^-2个细管。现在我们面临一个不幸的不平衡：粗管形成了一个「超级Kakeya配置」，在粗尺度ρ上有太多的管，使它们不可能都在方向上ρ分离，而粗管内的细管形成了一个「次级Kakeya配置」，其中没有足够的管来覆盖所有相关方向。因此，我们不能在任一尺度上有效地应用假设K(d)。
这似乎是一个严重的障碍，因此让我们换一种思路，考虑一种不同的方式来尝试完成论证——让我们看看，E会如何与给定的ρ-球B(x,ρ)相交。
假设K(d)表明E可能表现得像一个d-维分形，在这种情况下，我们可能会推测|E∩B(x,ρ)|的大小形式为(ρ/δ)^dδ^3。为了进行论证，假设集合E在这个尺度上比这更密集，例如我们有：
对所有x∈E和某个α>0成立。我们观察到ρ-邻域E基本上是
，因此根据假设K(d)，其体积为约大于ρ^(3-d)（实际上我们甚至期望在m上有一些增益，但我们暂时不尝试捕捉这样的增益）。由于ρ-球的体积为≈ρ^3，这应该意味着E需要大约ρ^-d个球来覆盖它。应用(3)式，我们从直观上有：
这将给出所需的增益K(d+α)。所以如果我们能够在某个中间尺度ρ展示条件(3)，我们就赢了。我认为这是一种[Frostman测度的违背]，因为Frostman类型的界限：
正在被违背。
集合E作为厚度为δ管的并集，本质上是δ×δ×δ立方体的并集。但在之前的陶哲轩和Nets Katz、Izabella Laba等的研究中已经观察到，这些Kakeya集合倾向于组织成比这些立方体更大的「颗粒」。特别是，对于某些中间尺度δ
其中μ_coarse不是粗管T_ρ的多重度，而是更小集合
的多重度。这里的关键点是，根据颗粒性假设，每个
是基本不相交的中间维度δ×ρc×c颗粒的并集。因此，量μ_coarse基本上是在测量颗粒的多重度。
结果表明，经过适当的重新缩放后，颗粒的排列在局部上看起来像是ρ×ρ×1管的排列。在理想情况下，这些管会呈现出Kakeya（或次级Kakeya）配置的特征，例如在给定方向上没有过多的管。（更准确地说，这里应该假设某种形式的Wolff公理，作者称之为「Katz-Tao凸Wolff公理」）。假设K(d)的一个合适变体将给出以下界限：
同时，粗管内的细管将形成一个次级Kakeya配置，比Kakeya配置少约m倍的管。可以证明，通过使用K(d)可以在m上获得增益：
其中σ＞0是一个小常数。将这些界限代入（4）式，可以得到一个良好的界限
，这就导致了所需的增益K(d+α)。
因此剩下的情况是当颗粒不表现为重新缩放的Kakeya或次级Kakeya配置时。Wang和Zahl引入了一个「结构定理」来分析这种情况，得出结论是颗粒将组织成一些更大的凸棱柱W，每个棱柱W中的颗粒表现为「超级Kakeya配置」（比Kakeya配置有明显更多的颗粒）。然而，这些棱柱W的精确维度并未预先指定，需要进一步分情况讨论。
一种情况是当棱柱W是「厚的」，即所有维度都明显大于δ。直观上讲，这意味着在小尺度上，E在重新缩放后看起来像一个超级Kakeya配置。通过一个相当冗长的尺度归纳论证，Wang和Zahl能够证明（一个合适变体的）K(d)意味着它自身的「X射线」变体，其中超级Kakeya配置的下界明显好于Kakeya配置的下界。这样做的结果是，在这种情况下能够获得形式为（3）的Frostman测度违背界限，如前所述，这已足以解决这种情况。
剩下需要处理的是棱柱W是「薄的」情况，即它们的厚度≈δ。在这种情况下，Córdoba的L^2论证，结合每个薄棱柱内颗粒的超级Kakeya性质，表明每个棱柱几乎完全被集合E占据。这实际上意味着，这些棱柱W本身可以被视为Kakeya集合的颗粒。但这与颗粒维度的最大性相矛盾（如果一切设置正确）。
这一结果处理了完成尺度归纳所需的最后剩余情况，从而证明了Kakeya猜想！
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